ক্যালকুলেটর ছাড়া যেকোনো সংখ্যার বর্গ নির্ণয়ের পদ্ধতি

আজ আমরা দেখব, কীভাবে ক্যালকুলেটর ছাড়াই দ্রুত যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করা যায়। এজন্য আমাদের একদম Basic যেসব বিষয় জানতে হবেঃ

কোন সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করার মানে হচ্ছে ওই সংখ্যাকে ওই সংখ্যা দিয়েই গুণ করা।

ক্রমিক সংখ্যা➡ পরপর পূর্ণ সংখ্যা। যেমনঃ 6,7,8,9...∞

স্বাভাবিক সংখ্যা➡ 0 থেকে বড় যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা। যেমনঃ 1,2,3,..26,..48...∞

প্রথমে এককের ঘরে শুধুমাত্র 5 থাকা সংখ্যাগুলোর বর্গ নির্ণয় করা যাক। এককের ঘরের 5 বাদ দিলে বাকি যে সংখ্যাটা থাকবে (ধরি x), সেটার পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার সাথে x গুণ করে যা আসবে, সেটার সর্ব ডানে 25 (5²) বসিয়ে দিলে (Not addition) যে সংখ্যাটা আসবে, সেটিই আমাদের কাঙ্ক্ষিত বর্গ। 

উফফ, কঠিন কথাবার্তা! Okay, উদাহরণ দিচ্ছি। 

75²=? 

এককের ঘরের 5 বাদ দিলে থাকে 7, তো 7 এর পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যা 8, এখন 7×8=56, তাহলে 56 এর ডানে 25 বসিয়ে দিলেই যা হয় অর্থাৎ 5625, যেটি 75 এর বর্গ। বিশ্বাস না হলে ক্যালকুলেটর আপনার হাতের কাছেই🙂

কোনো একটা জিনিস হুট করে শেখার চেয়ে সেটা কীভাবে হচ্ছে বা এই ট্রিকসটা কীভাবে কাজ করছে, সেটা জানা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ। চলুন দেখে নেয়া যাক...

প্রথমে দুই অংকের সংখ্যার ক্ষেত্রে চিন্তা করি। এককের ঘরের অংক তো 5 fixed, ধরি দশকের ঘরের অংক y, তাহলে সংখ্যাটি হল 10y+5। 10 গুণ হওয়ার কারণ, দশকের ঘরের অংক y ছিল। আমরা তো এটিরই বর্গ নির্ণয় করতে চাই। বীজগাণিতিকভাবে,

(10y+5)²=100y²+2×10y×5+5²

=100y²+100y+25

=100(y²+y)+25

=100 × y × (y+1) + 25 [ভেঙে লিখলাম]

y+1 হল y এর পরবর্তী ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা। দেখেন, দশকের অংকের সাথে তার পরবর্তী সংখ্যার গুণ হচ্ছে, তার সাথে আবার 100 গুণ হচ্ছে। এই 100 গুণ হওয়ার ফলে গুণফল যাই আসুক না কেন, তার একক ও দশকের ঘরের অংকে 00 থাকবে। এই গুণফলের সাথে এখন 25 যোগ করতে হবে। একক ও দশকের ঘরে 00 যুক্ত সংখ্যার সাথে 25 যোগ করা যা, সেই দুটি শুণ্যের বদলে 25 লিখে দেওয়াও তা! 

এখানে তো শুধু দুই অংকের সংখ্যার ক্ষেত্রে বললাম। কিন্তু এটি এককের ঘরে 5 যুক্ত যেকোনো সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। গাণিতিকভাবে যদি ব্যাখ্যা করতে চাই, তবে এক্ষেত্রে 5 বাদ দিয়ে বাকি পুরো সংখ্যাটাই এবার y হবে। যেমনঃ

155²=?

5 বাদে থাকে 15, 15×16=240, তাই উত্তর 24025।

এখানে একটি প্রশ্ন থাকে, 15×16 গুণটি মনে মনে করব কীভাবে বা করা বেশ কঠিন না? 

উত্তরঃ মোটেও কঠিন নয়। খুব সহজেই এসব গুণ করা যায়। আসলে দুই অংকের যেকোনো সংখ্যার গুণই সর্বোচ্চ 10 সেকেন্ডের মধ্যে করা যায়। সেসব এখন লিখতে চাচ্ছিনা। গুণ করা নিয়ে পরবর্তীতে বিস্তারিত লিখব।

এবার আসি, এককের ঘরের 5 ব্যতীত বাকি সংখ্যাগুলোর বর্গের ক্ষেত্রে। এককের ঘরে 0 যুক্ত সংখ্যার বর্গ তো সবাই খুব সহজেই পারে, সেটা নিয়ে কিছু বলছি না। এজন্য আমাদের অত্যন্ত ছোট্ট একটি থিওরি জানতে হবে। 

দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর সংখ্যাদ্বয়ের যোগফলের সমান।

ধরি, একটি সংখ্যা n, তাহলে তার পরবর্তী ক্রমিক সংখ্যা n+1.

এদের বর্গের অন্তর = (n+1)²-n²

=n²+2n+1-n²

=2n+1

=n+(n+1) [2n কে ভেঙে আলাদা করে লিখলাম]

= সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল [শুরুতে সংখ্যাটিকে n ধরেছি]

উদাহরণে আসি। ধরি, আমাদের 81 এর বর্গ নির্ণয় করতে হবে। এজন্য আমরা 80 এর বর্গকে ব্যবহার করব। চাইলে 82 এর বর্গকেও ব্যবহার করা যায়, সেটা কেন করছি না চিন্তা করে কমেন্টে জানাও।

80²=6400 [Sooo much easy😉]

80 এর পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যা 81। তাই 81² ও 80² এর অন্তর হবে 81 ও 80 এর যোগফলের সমান। অর্থাৎ,  

81²-80²=(81+80)

⇒81²=(81+80)+80² [পক্ষান্তর]

ডানপাশের রাশির মান বের করা আহামরি কঠিন কিছু নয়। একইভাবে আমরা 79 এর বর্গ পেয়ে যাব। তখন, 

80²-79²=(80+79)

⇒79²=80²-(80+79) [পক্ষান্তর করে -1 দ্বারা গুণ]

আগেরবারের চেয়ে এবার ডানপাশের রাশির মান বের করা তুলনামূলক কঠিন কিন্তু আহামরি কঠিন নয়। কয়েকবার প্র‍্যাকটিস করলেই আশা করি দক্ষ হয়ে যাবেন।

আরেকটি উদাহরণ দিয়ে শেষ করছি।

ধরা যাক, 74 এর বর্গ চাই। এজন্য 75 এর বর্গ ব্যবহার করব যা বের করতে ক্যালকুলেটরের চেয়েও কম সময় লাগে। এখন, 75²-74²=75+74।

একইভাবে, 76²-75²=76+75।

সম্ভাব্য প্রশ্নঃ এককের ঘরে 0,1,4,5,6,9 যুক্ত সংখ্যার বর্গ তো পেলাম, বাকিগুলোর ক্ষেত্রে কীভাবে পাব?

উত্তরঃ বাকিগুলো এত সহজে পারা যাবে না😰

তবে হ্যাঁ, চাইলে বের করা যাবে, সময় লাগবে। যেমনঃ যদি 72 এর বর্গ বের করতে চাই, তাহলে 71 বা 73 এর বর্গ বের করতে হবে, সেগুলো জানার জন্য আবার যথাক্রমে 70 বা 74 এর বর্গ বের করতে হবে। এভাবে ধাপে ধাপে তখন করতে হবে। মোটকথা, আমরা ঐ উপরের থিওরিটাই ব্যবহার করব।